极地地质钻探冰孔液压致裂分析

刘永升; 许浩然; 杨甘生; 李冰; Liu Yongsheng; XU Haoran; YANG Gansheng; LI Bing

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摘要

极地地质钻探是获取地层样品、研究极地地质和气候演变等的重要手段。钻遇脆冰层、暖冰层和冰岩夹层等复杂冰层时，易出现孔壁失稳问题，尤其是冰孔液压致裂，造成钻井液流失和钻孔事故。针对冰孔裂缝萌生和扩展问题，基于近场动力学方法（PD），建立了冰孔裂缝模型，实现了对冰孔周边连续和非连续空间的统一描述，避免了经典连续介质力学微分方程在裂缝尖端的奇异性，分析了裂缝动态扩展过程，探究了液压和断裂韧度的影响机制。实例研究表明，孔内液柱压力促进裂缝萌生和扩展，液压从4.0 MPa增加到6.0 MPa和8.0 MPa，冰孔裂缝萌生和分支数量显著增加，裂缝体积占比从4.88%增加到9.61%和12.54%。断裂韧度阻碍冰孔裂缝扩展，从 $155 k P a \cdot m^{0.5}$ 加到 $165 k P a \cdot m^{0.5}$ 和 $175 k P a \cdot m^{0.5}$ ，裂缝体积占比从13.72%降低到12.13%和9.61%。基于近场动力学的冰孔液压致裂分析表明，钻遇韧脆转换冰层时，应及时调整钻井液密度和液柱高度，控制孔内液压，保证安全高效钻进。

关键词

极地钻探; 冰孔; 液压致裂; 近场动力学; 断裂韧度

0 引言

地球气候变化信息随降雪结冰保存在极地冰盖内部，冰心是记录与再现地球气候演变历史的最佳媒介之一，其优点包括分辨率高、信息量大和保真度高^［

1］。极地地质钻探获取冰心是研究冰下环境和地球气候演变的重要手段。随冰层钻进深入，孔壁破裂和裂缝扩展问题时有发生，如图1所示。俄罗斯进行Vostok站5G钻孔作业，孔内液面突然下降，同时在相距20 m的4G孔发现原本应位于5G孔的钻井液，钻井液在不同钻孔中迁移说明5G孔与4G孔间存在冰裂缝^{［参考文献 2

百度学术}2］，现场开展的相关实验验证了液压致裂现象存在^{［参考文献 3

百度学术}3］。

图1 极地钻探冰孔破裂

随冰层钻进深入，孔壁破坏成为影响钻进的主要问题。冰力学特性很大程度影响冰孔稳定性。为探究冰力学特性，王庆凯等^［

4］发现冰力学性质对施加的应变速率有强敏感性，低应变速率表现为韧性，高应变速率表现为脆性。张红彪^{［参考文献 5

百度学术}5］采用劈裂实验研究不同温度和应变速率的冰断裂韧度。Timco等^{［参考文献 6

百度学术}6］认为冰断裂韧度取决加载速率和冰类型，其值在115~250 kPa·m^0.5。

为探究冰孔液压致裂机制，Chen等^［

7］进行三轴水力压裂实验，发现冰孔液压裂缝垂直最小水平主应力方向。张晗^{［参考文献 8

百度学术}8］基于最大拉应力准则，分析了冰孔液压致裂的裂缝扩展条件。Zhang等^{［参考文献 9

百度学术}9］研究表明存在裂缝将显著降低钻井液安全压力窗口和井眼稳定性。钻探工程中Talalay等^{［参考文献 10

百度学术}10］提出改变冰孔钻井液密度和液柱高度是保持孔壁稳定的重要手段。

数值方法较实验和理论方法有利于处理复杂裂缝扩展问题，但基于经典连续介质理论的运动方程通过微分形式表述，其偏导在非连续处不存在，几乎不能处理多个干涉裂缝和复杂冰裂缝萌生和扩展问题。Silling^［

11］提出非局部近场动力学理论（Peridynamics，PD），认为非接触的两点也具有相互作用，建立空间积分方程，在冰孔复杂裂缝萌生和扩展的研究方面存在巨大优势。Nadimi等^{［参考文献 12

百度学术}12］基于PD理论，分析了含预裂缝的非均质岩石水力裂缝起裂和扩展。Zhang等^{［参考文献 13

百度学术}13］基于PD理论研究破冰过程中冰的损伤，数值结果与实验吻合较好。Jia等^{［参考文献 14

百度学术}14］采用PD方法模拟海冰挤压破碎，与离散元法对比表明PD模型可合理反映冰的破碎。现有研究多数建立二维PD模型，鲜有基于PD理论研究三维冰孔液压裂缝萌生及扩展特性。

本文基于PD理论，针对冰孔液压裂缝萌生和扩展特性进行研究。建立三维冰孔PD模型，与经典连续介质力学对比，验证了PD理论的适用性。分析了冰孔液压裂缝动态扩展过程，探讨了液压和断裂韧度对裂缝萌生和扩展的影响机制。据裂缝扩展形态变化，将冰孔周围变形分为弹性变形、裂缝萌生扩展和贯通稳定3个阶段。

1 冰孔破裂近场动力学模型

1.1 模型简化

鉴于局部连续介质力学的局限性，非局部PD理论研究冰孔裂缝萌生和扩展的非连续问题具有优势。PD积分方程的特性允许损伤在冰孔多部位萌生，可沿任意路径扩展，有利于处理冰孔多裂缝复杂扩展问题。针对极地冰心钻进过程，简化冰孔受力，建立如图2所示的三维冰孔PD模型。基本假设：（1）水平地应力环向均匀分布；（2）冰晶体结构规则排列，简化为均质各向同性。

图2 三维冰孔PD模型

三维冰孔PD模型冰层应力以体力形式作用在虚拟边界层。冰孔PD参数见表1，查阅资料^［

6，13］，冰孔力学参数见表2。采用自适应动态松弛法^{［参考文献 15

百度学术}15］，建立如图2所示坐标系。

表1 冰孔模型PD参数

PD参数	数值
外径/m	0.030
孔径/m	0.005
厚度/m	0.010
物质点数	860400
物质点间距 $∆$ /m	$2.0 \times 10^{- 4}$
边界层厚度/m	$6.0 \times 10^{- 4}$
近场范围 $δ$ /m	$6.03 \times 10^{- 4}$
时间步长 $∆ t$ /s	1
总时间步	1000

表2 冰孔模型力学参数

力学参数	数值
弹性模量E/GPa	1.8
断裂韧度 $K_{I}$ /( $k P a \cdot m^{- 0.5})$	175
冰层水平应力 $σ_{h}$ /MPa	2.977
冰层上覆压力 $σ_{v}$ /MPa	8.932

1.2 冰孔近场动力学模型

对图2冰孔PD模型中物质点进行力学分析，如图3所示。

图3 冰孔PD模型物质点运动示意

基于非局部思想，冰孔周边物质点的PD运动方程采用积分形式表达^［

11］：

ρ (x

)

\ddot{u} (x, t

\int_{H} f d V_{x'} + b (x, t)

(1)

式中： $ρ (x)$ ——冰的密度， $k g / m^{3}$ ； $f$ ——物质点 $x$ 与其近场范围内物质点 $x'$ 间的对点力函数，也称本构力函数； $H$ ——近场范围，m； $V_{x'}$ ——物质点 $x'$ 体积， $m^{3}$ ； $b (x, t)$ ——体力密度， $N / m^{3}$ 。

图2中液压 $p_{w} 和冰层应力$ $σ_{h} 、 σ_{v}$ 以体力形式作用在边界层。

有研究表明冰的主要破坏特征为脆性破坏^［

8，16］，因此在冰孔PD方程中引入脆性本构关系，图3和式（1）中物质点本构力函数

f

表达为：

f = f (η, ξ) = f (η, ξ) \frac{ξ + η}{| ξ + η |} = c s \frac{ξ + η}{| ξ + η |}

(2)

式中： $ξ$ ——两物质点的初始相对位置矢量， $m$ ； $η$ ——两物质点的相对位移矢量， $m$ ； $c$ ——键刚度，由PD应变能密度与连续介质力学应变能密度相等而得。

PD理论在物质点 $x$ 处的应变能密度 $W_{P D}$ ，是物质点 $x$ 和其近场范围内其他物质点间键能密度 $w (η, ξ)$ 总和。键能密度 $w (η, ξ)$ 通过键刚度 $c$ 和伸长率 $s$ 表示：

w (η, ξ) = \frac{c s^{2}}{2} | ξ |

(3)

s = \frac{| ξ + η | - | ξ |}{ξ}

(4)

连接物质点 $x$ 的键能密度由键两端物质点等分，通过积分表示：

W_{P D} = \frac{1}{2}

\int_{H} w (η, ξ) d V_{x'}

(5)

PD应变能密度由键能密度式（3）代入式（5）得：

W_{P D} = \frac{1}{2}

\int_{H} \frac{c s^{2}}{2} | ξ | d V_{x'}

(6)

PD应变能密度式（6）三维展开：

W_{P D} = \frac{1}{2}

\int_{H} \frac{c s^{2}}{2} | ξ | d V_{x'}

＝

\frac{1}{2} \int_{0}^{δ} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \frac{c s^{2}}{2} | ξ | (| ξ |

)

^２sinφdφ

d θ

| ξ |

(7)

冰孔PD模型伸长率用应变分量表示：

ε_{T}

ε_{11}

cos

^{2}

θ

sin

^{2}

φ

ε_{22}

sin

^{2}

θ

sin

^{2}

φ

ε_{33}

cos

^{2}

φ

(8)

式（8）

代入

式（7）

得冰孔PD模型应变能密度：

\begin{array}{l} W_{P D} = \frac{c π δ^{4}}{60} [3 ({ε^{2}}_{11} + {ε^{2}}_{22} + {ε^{2}}_{33}) + \\ 2 (ε_{11} ε_{22} + ε_{11} ε_{33} + ε_{22} ε_{33})] \end{array}

(9)

冰孔局部连续介质力学应变能密度：

\begin{array}{l} W_{C C M} = \frac{1}{2} [(λ + 2 G) ({ε^{2}}_{11} + {ε^{2}}_{22} + {ε^{2}}_{33}) \\ + 2 λ (ε_{11} ε_{22} + ε_{11} ε_{33} + ε_{22} ε_{33})] \end{array}

（10）

$式中 : G 、 λ$ ——Lame常数。

冰孔PD模型键刚度 $c$ 由式（9）与式（10）相等而得：

c_{3 D} = \frac{12 E}{π δ^{4}}

(11)

当图3中物质点伸长率 $s$ 超过冰孔临界伸长率 $s_{0}$ ，本构力 $f$ 消失，冰孔微裂纹萌生，裂纹扩展形成宏观裂缝。

定义标量函数 $ψ$ ：

ψ (ξ, t) = {\begin{matrix} 1 s (ξ, t') < s_{0} 、 0 \leq t' \leq t \\ 0 其他 \end{matrix}

(12)

冰孔PD模型临界能量释放率表达^［

17］：

G_{0} = \int_{H} \frac{c s^{2}}{2} | ξ | d V x' = \int_{0}^{δ} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{δ} \int_{0}^{a r c c o s (\frac{z}{| ξ |})} \frac{c_{3 D} {s_{0}}^{2}}{2} | ξ | {(| ξ |)}^{2} s i n φ d φ d | ξ | d θ d z = \frac{π c_{3 D} δ^{5}}{10} {s_{0}}^{2}

(13)

冰孔临界能量释放率由断裂韧度实验得：

G_{0} = \frac{{K_{I}}^{2}}{E}

(14)

联合式（13）和式（14）得冰孔临界伸长率：

s_{03 D} = \sqrt[]{\frac{10 G_{0}^{}}{π c_{3 D} δ_{}^{5}}} = \sqrt[]{\frac{10}{E π c_{3 D} δ^{5}}} K_{I}

(15)

定义损伤值 $Φ$ 为物质点近场范围内消失的相互作用与初始相互作用总数的比例：

Φ (x, t) = 1 - \frac{\int_{H} ψ (ξ, t) d V_{x'}}{\int_{H} d V_{x'}}

(16)

局部损伤 $Φ$ 描述键断裂比例，变化范围从0到1。 $Φ = 0$ ，所有键保持完好； $Φ = 0.5$ 为裂缝萌生与扩展的阈值； $Φ = 1$ ，物质点近场范围内所有键断裂，相互作用消失。

数值求解流程如图4所示。

图4 数值计算流程

1.3 方法验证

图2三维冰孔PD模型截取平面，尺寸和加载情况如图5所示。二维冰孔PD模型弹性模量1.8 GPa，泊松比 $μ = 0.25$ ，液压 $p_{w} = 3.5 M P a$ ，离散17208个物质点，物质点间距 $∆ = 0.2 m m$ ，近场范围 $δ = 3.015 ∆$ 。采用自适应动态松弛法求解，时间步长 $∆ t = 1$ ，加载步数1000步。

图5 二维冰孔液压加载

为验证PD数值解的稳定性和准确性，取图5点A（ $x = 8.5 m m, y = 8.5 m m$ ），分析位移和应变与时间关系，如图6所示，加载200步后A点径向位移和应变趋于稳定，PD结果收敛。径向位移和应变PD解与解析解吻合，如图7所示，表明PD方法的准确性。

图6 物质点A径向位移和应变随时间变化曲线

图7 冰孔径向位移和应变曲线

2 冰孔液压致裂分析

基于图2三维冰孔PD模型，分析冰孔裂缝扩展过程，探究液压和断裂韧度影响裂缝萌生和扩展机制。

2.1 裂缝动态扩展过程

在6.0 MPa液压下，冰孔裂缝萌生和扩展如图8所示。100步裂缝从孔壁萌生，200到400步多条裂缝呈火苗状迅速扩展，400步径向裂缝贯通，分支裂缝相交。据图9损伤指数（裂缝体积占模型总体积比例），孔周分为弹性变形、裂缝萌生扩展和稳定贯通3阶段，损伤指数稳定在9.61%。

图8 冰孔PD模型裂缝萌生与扩展过程

图9 冰孔裂缝扩展过程损伤指数

位移变化超过临界值表明出现裂缝。如图10所示，模型表面半径4 mm处0.722°、15.75°、74.25°、88.53°、105.75°、164.25°、178.53°、195.75°、254.25°、270.97°、285.75°和344.25°方向位移显著变化表明上述12处萌生裂缝，如图8（d），对应图11黑色曲线。在半径6 mm，图10和图11红色曲线81.33°~98.67°、171.33°~188.67°、261.33°~278.67°和351.33°~8.67°的位移在小范围内多次急变，相应位置损伤值在0.5以上，表明存在连续破坏，产生环向裂缝。在半径8 mm，图10和图11蓝色环向位移和损伤曲线在0°、90°、180°和270°方向急剧变化，其间16条次级裂缝，汇合以8条裂缝径向扩展，如图8（f）。

图10 冰孔模型表面不同半径环向位移

图11 模型表面裂缝形态及损伤

冰孔裂缝扩展形态轴向非均布，中截面裂缝分支少，形成明显的8条径向裂缝和环向网状裂缝，如图8（i）。半径4 mm的环向位移和损伤出现12个峰值，图12和图13黑色曲线表明12条裂缝萌生。半径6 mm的图12和图13红色曲线出现位移相对平缓和连续有效损伤（ $Φ > 0.5$ ），12条萌生裂缝环向汇合。半径8 mm的位移和损伤峰值再次分散8处，图12和图13蓝色曲线表明环向裂缝继续以8条径向裂缝扩展。

图12 中心截面半径为3、6、8mm的环向位移

图13 中心截面裂缝形态及损伤

2.2 液压影响机制

4.0、6.0和8.0 MPa液压裂缝形态如图14所示。图14（a）、（d）显示4.0 MPa的8条对称径向裂缝从孔壁线性延伸，孔周形成4处损伤域。图14（b）、（e）表明6.0 MPa的12处裂缝萌生，最终形成8条径向裂缝。图14（c）、（f）显示8.0 MPa液压裂缝分支、汇合和环向裂缝显著增多，呈碎散结构。水平和垂直裂缝交织，形成复杂三维形态，如图14（g）、（h）、（i）。

图14 液压4.0、6.0、8.0 MPa的冰孔裂缝形态

图15从损伤角度定量描述裂缝特征。图15黑色曲线8个峰值表明4.0 MPa的冰孔裂缝沿20.03°、69.97°、110.03°、159.97°、200.03°、249.97°、290.03° 和339.97°的8个方向萌生并径向扩展。图15红色曲线在半径3 mm的12个峰值表明6.0 MPa的12条裂缝萌生，扩展至半径7 mm时峰值增至24个，裂缝在此范围内分支倍增，在半径11.4 mm合并呈0°、45°、90°、135°、180°、225°、270°和315°的8个方向径向扩展。图15蓝色曲线在3 mm存在16个峰值，表明8.0 MPa冰孔裂缝沿16个方向萌生，半径5 mm的30°~60°、120°~150°、210°~240°和300°~330° 方向上存在4段连续有效损伤（ $Φ > 0.5$ ），半径7 mm和11.4 mm处同样出现多段连续有效损伤，表明相应位置产生环向裂缝。

图15 不同液压下半径为3、5、7、11.4 mm处模型表面损伤

冰孔环向和径向裂缝萌生、分支和扩展体积与液压正相关。液压增加了冰孔裂缝萌生数量，4.0、6.0和8.0 MPa的裂缝萌生数为8、12和16。裂缝分支和体积随液压增大而增大，如图16所示，上述液压损伤指数稳定在4.88%、9.61%和12.54%。

图16 不同液压下损伤指数随时间变化

2.3 断裂韧度变化

断裂韧度为155、165、175 $k P a \cdot m^{0.5}$ 的裂缝形态如图17所示。图17（a）、（d）显示 $155 k P a \cdot m^{0.5}$ 的8条径向和分支裂缝，形成雪花状裂缝。图17（b）、（e）为 $165 k P a \cdot m^{0.5}$ 的8条径向和多段环向裂缝。图17（c）、（f）表明 $175 k P a \cdot m^{0.5}$ 下，在8条径向裂缝基础上，孔周分支和环向裂缝范围进一步减少。三维形态如图17（g）、（h）、（i）。

图17 断裂韧度为 $155 、$ $165$ 和 $175 k P a \cdot m^{0.5}$ 冰孔裂缝形态

图18从损伤角度定量描述裂缝特征。图18在半径3 mm蓝色曲线的12个有效峰值表明， $155 k P a \cdot m^{0.5}$ 的裂缝沿17.24°、72.76°、88.03°、107.24°、162.76°、178.03°、197.24°、252.76°、268.03°、287.24°、342.76°和358.03°的12个方向萌生；半径6、9和12 mm蓝色曲线峰值数对应相应位置20、16和12条裂缝分支。图18的3 mm红色曲线表明 $165 k P a \cdot m^{0.5}$ 的12条裂缝萌生；6、9和12 mm红色曲线峰值数对应相应位置12、16和8条裂缝分支。图18的3 mm黑色曲线表明 $175 k P a \cdot m^{0.5}$ 仍为12条萌生裂缝；6 mm的4段小范围连续有效损伤表示相应环向裂缝；9和12 mm黑色曲线峰值数对应相应位置16和8条径向裂缝。

图18 不同断裂韧度下半径为3、6、9、12 mm处模型表面损伤

断裂韧度对冰孔裂缝萌生数量和环向裂缝无明显作用， $155$ 、 $165$ 和 $175 k P a \cdot m^{0.5}$ 均为12条裂缝萌生和小范围环向裂缝。断裂韧度抑制裂缝分支，冰孔裂缝分支和体积随断裂韧度增大而减小，如图19所示，上述断裂韧度的损伤指数为13.72%、12.13%和9.61%。

图19 不同断裂韧度的损伤指数随时间变化

3 结论

针对冰孔液压致裂问题，建立了冰孔裂缝萌生和扩展PD模型，研究了裂缝动态扩展过程，探讨孔内液压和断裂韧度对裂缝萌生和扩展的影响，得到以下认识：

（1）据裂缝形态和破裂体积变化，冰孔变形分为弹性阶段、裂缝萌生扩展阶段和穿透稳定阶段。裂缝稳定形态为径向裂缝和孔周环向网状裂缝，液压6.0 MPa裂缝体积占比9.61%。

（2）冰裂缝萌生、分支扩展和裂缝体积与液压正相关。断裂韧度 $175 k P a \cdot m^{0.5}$ 和液压4.0、6.0、8.0 MPa的裂缝萌生数为8、12、16，裂缝分支显著增加，上述液压的裂缝体积为4.88%、9.61%和12.54%。

（3）冰由脆性向韧性转变过程，裂缝分支和扩展受到阻碍。液压6.0 MPa下，断裂韧度从 $155 k P a \cdot m^{0.5}$ 增加到 $165 k P a \cdot m^{0.5}$ 和 $175 k P a \cdot m^{0.5}$ ，裂缝体积从13.72%降低到12.13%和9.61%。为减少冰孔破裂引起钻井事故，钻进韧脆过渡冰层需及时调整钻井液密度和液柱高度，降低孔内液压。

冰孔裂缝扩展影响因素复杂，未来将结合室内实验、现场试验深入探讨液压裂缝扩展机制，为极地安全高效钻进提供理论指导。

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